Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Данный онлайн калькулятор вычисляет определитель матрицы. Дается подробное решение. Для вычисления определителя матрицы выбирайте порядок (размер) квадратной матрицы. Введите данные в ячейки. Выберите метод решения и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите на странице .

Закрыть Очистить Инструкция ввода данных.

Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр.

67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Определитель (детерминант) матрицы

Определитель: det, , ||, детерминант.

Пример: найти минор второго порядка для элемента a12 матрицы A:

Решение: Вычеркиваем из матрицы A 1-ю строку и 2-й столбец. Получаем матрицу размерностью 2*2, находим определитель этой матрицы:

Ответ: -6. Таким образом, минор — это не матрица, а число.

Пример: найти определитель (в общем виде) матрицы 2*2 разложением по 1) строке; 2) столбцу:

Решение: По строке: det A = a11*(-1)1+1*M11+a12*(-1)1+2*M12

Вычисление определителя матрицы, примеры, решения

Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Это понятие присуще ТОЛЬКО КВАДРАТНЫМ МАТРИЦАМ, этому понятию и посвящена данная статья. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.

В этом случае определитель есть действительное (или комплексное) число. Все дальнейшее изложение будет ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает.

Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму произведений перестановок элементов матрицы.

Правило треугольников

Три слагаемых, входящих в сумму B со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.

(Получается два треугольника, вершинами которых являются перемножаемые элементы.) (рис. А). Слагаемые, входящие в B со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали. (рис. Б). Инструкция для нахождения определителя методом треугольников (методом Саррюса).

Заполните матрицу, нажмите Далее.

!—

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.» Д.

Определитель вычисляется по особым правилам и обозначается |A|, det A, ΔA.Число строк (столбцов) определителя называется его порядком.Определитель первого порядка матрицы

равен элементу a11: |A|=a11 ПРИМЕРЫ: Не путать определитель первого порядка с модулем.

Определитель второго порядка обозначается символом

и равен |A|=a11a22-a12a21 ПРИМЕРЫ:

Определитель 3-го порядка обозначается символом и равен Для запоминания

Метод понижения порядка

.

Пример №1. Найти определитель матрицы: Запишем матрицу в виде:A = 128-250254Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.

1 2 8 -2 5 0 2 5 4Работаем со столбцом №1Добавим 3-ую строку к 2-ой: 1 2 8 -2 5 0 0 10 4Умножим 1-ую строку на (k = -2 / 1 = 2) и добавим к 2-ой: 1 2 8 0 9 16 0 10 4Работаем со столбцом №2Умножим 2-ую строку на (k = 10 / 9 = -10/9) и добавим к 3-ой: 1 2 8 0 9 16 0 0 -124/9Полученную матрицу разложим по элементам первого столбца и преобразуем ее:A = 1 * 9160-124/9Определитель равен ∆ = 1 * (9*(-124/9) — 0*16) = -124 Пример №2. Найти определитель матрицы, используя метод понижения порядка. A = 23-3421-126210230-5 Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.Умножим 3-ую строку на (k = -2 / 6 = -1/3) и добавим к 4-ой: 2 3 -3 4 2 1 -1 2 6 2 1 0 0 7/3 -1/3 -5Умножим 2-ую строку

Вычисление определителей

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n.

Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е.

вторые индексы элементов aij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная. . Здесь [i1, i2, …, in ] — число инверсий в перестановке индексов i1, i2, …, in.

разложением по строкам и столбцам через миноры.

(методом Гаусса) При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n.

|А|, ∆, det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы. Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле: А=1-231. Решение: det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7 Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  1. правило Саррюса.
  2. правило треугольника;

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника? а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32 А=13402115-1 Решение: det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12 Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

Определитель матрицы

равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

, где i0 – фиксировано. Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0.

Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word. Дополнительно создается шаблон решения в Excel. Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Размерность матрицы 2345678910 Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу.

Источник: http://lawersaykin.ru/nahozhdenie-opredelitelja-matricy-metodom-treugolnika-88257/

Правило Саррюса (правило треугольника)

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Пример1:

=–2×1×(–5)+ 5×4×(–4)+ 3×2×(–3)–(–3)×1× (–4)–4×2×

(–2)–5×3 × (–5)= 10 –80–18–12+16 +75 = –9.

Пример2:

=45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

МиноромMijэлемента aijквадратнойматрицы n‒ го порядка называется определитель(n‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из даннойматрицы вычеркиванием i‒ йстроки и j‒ гостол­бца, на пересечении которых стоитданный элемент.

Пример:

;

M11== 15 + 2 = 17;

M12== –6–6= –12;и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическимдополнением Aijэлементаaijквадратной матрицы называется егоминор,взятый со знаком (‒1)i+j.

Пример:

А11 =(–1)1+1×M11=17.

А12 =(–1)1+2×M12 = ‒ 1×M12= 12.

А13 =(–1)1+3×=4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Теорема Лапласа

Определительквадратной матрицы равен суммепроизведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения.

поIстр. = ×(–1)1+2× +×(–1)1+2×

×+×(–1)1+2×;

Пример:

поIIстр. = ‒ 2×(–1)2+1×+5×(–1)2+2×+1×

×(–1)2+3×=2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.

Свойства определителей

1.Определитель равен нулю, если содержит:

-нулевую строку или нулевой столбец;

-две одинаковые строки (столбца);

-две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

=0; = 0;= 0;III= I× (-3).

2.Общий множитель элементов любой строки(столбца) можно выносить за знакопределителя.

Пример:

=2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3.Определитель не изменится, если кэлементам любой строки (столбца) прибавитьэлементы другой строки (столбца)умноженные на одно число.

Пример:

I× 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

== 1×(–1)1+3×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица

МатрицаА-1называетсяобратной к матрице A,если при умножении ее на матрицу A,как справа, так и слева, получитсяединичная матрица.

А-1×A=A×А-1=E

Матрицаназывается невырожденной,если ее определитель не равен 0, иназывается вырожденной,если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратнаяматрица А-1существуеттолько тогда, когда матрица невырожденная,т.е. |A|≠ 0.

Алгоритмнахождения.

1.Найти определитель матрицы А.

Если│A│=0, то обратная матрица не существует,если │A│≠0, то перейти ко второму шагу.

2.Найти матрицу AT,транспонированную к матрице А.

3.Найти алгебраические дополненияэлементов матрицы ATи составить из них матрицу Ã,которая называется присоединенной.

Ã=

4.Обратную матрицу найти по формуле:

5.Сделать проверку АA= E

Решение матричных уравнений

Матричное уравнение имеет вид:

A× Х= B

Умножимобе части уравнения на матрицу А1слева:

А-1×A×Х = А-1×В.

Таккак А-1×А=Е,тоЕ×Х = А-1×В.

ТаккакЕ× Х=X,тоХ= А-1×В

Пример:

Дано:

А= ;

В= ;

Найти:

X‒?

Решение:

1)│А│=

2)AT=.

3)

Ã=.

4)А-1= × Ã =×=

Х=А-1×B=

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы

Рангомматрицы называется наивысший порядокне равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang(A)или r(A).

Теорема1.Ранг матрицы не превосходит наименьшегоиз ее размеров.

r(A)≤ min (m; n)

Пример:

А2×3= ;

r(A)≤ min(2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r(A)≤ 2.

=3 + 24 = 27 0; r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема2.Ранг квадратной матрицы n-гопорядка равен ее порядку, если она невырожденная.

Примеры:

1)А3×3= ;r(A)≤ 3.

А│== 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 0 матрица не вырожденнаяr(A)= 3.

2)А3×3=;│А│=0, т.к.III = I × (– 3) r(A)< 3.

=0 + 5 = 5 0 r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема3.Ранг матрицы не изменяется при элементарныхпреобразованиях матрицы.

Источник: https://StudFiles.net/preview/6055013/page:3/

Определители

Нахождение определителя матрицы методом треугольника
Вычисление определителей n-го порядка:

Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:

Решить уравнение:

и многих других, которые так любят придумывать преподаватели.

Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для этой цели. Поэтому понять логику записи определителей легко по следующей схеме.

Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке – из первого уравнения, во второй строке – из второго уравнения:

Например, если дана система уравнений

,

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Часто говорят также “определитель матрицы”, поэтому сначала объясним, что такое матрица. Матрица – это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица – таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

                    (1)

Числа называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, n;  j = 1, 2, …, n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

По теме “Определители” на сайте есть также отдельный урок по вычислению минора и алгебраического дополнения.

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель первого порядка – это сам элемент т.е.

.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

,   (2)

где и

– произведение элементов, стоящих соответственно на главной и на побочной диагоналях.

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным – произведение элементов побочной диагонали.

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Решение. По формуле (2) находим:

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

 (3)

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя (рис. 1).

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.

На рис.1 главная диагональ и соответствующие ей основания треугольников и побочная диагональ и соответствующие ей основания треугольников выделены красным цветом.

При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн.

Пройти тест по теме Определители

Вычисление определителей n-го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Для вычисления определителя n-го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Определитель

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из   можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

.

Если минор умножить на  , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается ,

т.е.

Вообще, минор элемента будем обозначать , а алгебраическое дополнение  ,

причём

                  (4)

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка :

По формуле (4) получим

При разложении определителя часто используется следующее свойство определителя n-го порядка:

если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 3

здесь разложение проведено по элементам первой строки.

Пример 4.

Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь

В четвёртом столбце полученного определителя три элемента – нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. Поэтому

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн.

А в следующем примере показано, как вычисление определителя любого (в данном случае – четвёртого) порядка можно свести к вычислению определителя второго порядка.

Пример 5. Вычислить определитель:

Вычтем из третьей строки элементы первой строки, а к элементам четвёртой строки прибавим элементы первой строки, тогда будем иметь

В первом столбце все элементы, кроме первого, – нули. То есть, определитель можно уже разложить по первому столбцу. Но нам очень не хочется вычислять определитель третьего порядка.

Поэтому произведём ещё преобразования: к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на 2, а из элементов четвёртой строки вычтем элементы второй строки.

В результате определитель, являющийся алгебраическим дополнением, сам может быть разложен по первому столбцу и нам останется только вычислить определитель второго порядка и не запутаться в знаках:

Приведение определителя к треугольному виду

Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. Случай побочной диагонали путём изменения порядка строк или столбцов на обратный сводится к случаю главной диагонали. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Для приведения к треугольному виду используется то же самое свойство определителя n-го порядка, которое мы применяли в предыдущем параграфе: если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 6. Вычислить определитель:

Произведём следующие преобразования. Вычтем из второй, третьей и четвёртой строк элементы первой строки. Получим определитель треугольного вида:

Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали:

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Определители

Свойства определителя n-го порядка

В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n-го порядка. В некоторых случаях для упрощения вычисления определителя можно пользоваться другими важнейшими свойствами определителя.

Например, можно привести определитель к сумме двух определителей, из которых один или оба могут быть удобно разложены по какой-либо строке или столбцу.

Случаев такого упрощения предостаточно и решать вопрос об использовании того или иного свойства определителя следует индивидуально.

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.

И на десерт – решение задачи, с которой начинается эта статья.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.

Шаг 1. Вычисляем определитель второго порядка, который находится в левой части уравнения. Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали:

Шаг 2. Вычисляем определитель третьего порядка, который образует правую часть уравнения. Делаем это по “правилу треугольников”:

Приравниваем обе части, получаем уравнение и решаем его:

В дальнейшем в курсе высшей математики с определителем выпадет встретится при изучении следующих тем: решение систем линейных уравнений методом Крамера, экстремум функции двух переменных, векторное и смешанное произведение векторов, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, уравнения плоскости.

А для усвоения практического смысла составления матриц и определителей упомянём один из многочисленных примеров.

Если три магазина одной сети продают три различных вида товаров, то отчёт о продажах за год можно представить в виде таблицы из трёх строк и трёх столбцов, содержащей некоторые числа.

Первый индекс каждого числа – это номер магазина, а второй – номер вида товара. Впрочем, этот и другие примеры станут вам более понятны при решении систем линейных уравнений.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Определители

Продолжение темы “Определители”

Вычисление минора и алгебраического дополнения

Продолжение темы “Линейная алгебра”

Системы линейных уравнений

с друзьями

Источник: https://function-x.ru/determinants.html

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы методом треугольника
Определитель матрицы или детерминант матрицы – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
(α1,α2,…,αn)

где (α1,α2,…,αn) – перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) – число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

  1. Определитель единичной матрицы равен единице:

    det(E) = 1

  2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

  5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  7. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

  10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. k·ai1k·ai2…k·ain …. an1an2…ann = k· a11a12…a1n a21a22…a2n …. ai1ai2…ain …. an1an2…ann

  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k – число.

  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin …. an1an2…ann = a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1bi2…bin …. an1an2…ann + a11a12…a1n a21a22…a2n …. ci1ci2…cin …. an1an2…ann

  14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =  = a11·a22 – a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

Решение:

det(A) =  = 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

+

∆ = 
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

∆ = 
a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571 -410 203

Решение:

det(A) = 571 -410 203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 – 1·1·2 – 5·0·0 – 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 – 2 – 0 + 84 = 97

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) = Σaij·Aij – разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) = Σaij·Aij – разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 21 11 + 0·(-1)2+1· 41 11 + 2·(-1)3+1· 41 21 =

= 2·(2·1 – 1·1) + 2·(4·1 – 2·1) = 2·(2 – 1) + 2·(4 – 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411 0200 2113 4023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411 0200 2113 4023 = – 0· 411 113 023 + 2· 211 213 423 – 0· 241 213 403 + 0· 241 211 402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 – 1·1·4 – 2·3·2 – 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 – 4 – 12 – 6) = 2·0 = 0

Юридический спектр
Добавить комментарий